Teishoin's Digital Photo Log: 言語表現はいかにして多値論理体系で説明できるか9

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2006年11月30日

言語表現はいかにして多値論理体系で説明できるか9

相関関係を考慮した多値論理真理表の作成を行いましょう。二つの命題ｐ及びｑに相関関係が無い場合、もしくは、関係があるのかどうか分からない場合、命題の真理値を求めることはさらに困難を極めます。しかし、実際の人間の思考を考えると、話のつじつまは合わない場合が多いし、前後の相関関係もわからない場合が多はずです。
﹁Aが真であること、そうでないこと﹂は、﹁Ｂが真であること、そうでないこと﹂とは次元の異なる論理なのです。﹁雨が降るか降らないか﹂といったような同じ次元の論理であれば、簡単に検証することができますが、﹁雨が降るか雷がなるか﹂といった場合には、次元が異なると言って良いでしょう。
複雑を避ける意味から、簡単のために三値の真理表についてまず作成してみます。ｐが1である確率(可能性)をａ、pとｑとの相関関係をγとすると︵0＜ａ＜１、?１＜γ＜１︶ ※相関係数は、負の値をとるので、０?１の値に置き換えるためｒ＝︵γ＋1︶／2とします。表1真偽値不明の命題がとりうる真偽値命題p命題q確率

命題 p	命題q	確率
1	1	ar
1	0	a(1-r)
0	1	(1-a)(1-r)
0	0	(1-a)r

当然全ての確率を合計すると、 ar+a(1-r)+(1-a)(1-r)+(1-a)r=ar+a-ar+1-a-r+ar +r-ar =1 となります。ｐという命題はaだけ確からしいとし、qはｐとの相関がγである︵Ｐとｑと同じになる確率がr︶とうことであるから、それぞれの確率と値は次の表のようになります。表2 命題ｐ命題ｑ確率ｐ∧ｑｐ∨ｑｐ⊃ｑｐ≡ｑ

命題ｐ	命題ｑ	確率	ｐ∧ｑ	ｐ∨ｑ	ｐ⊃ｑ	ｐ≡ｑ
１	１	ar	１	１	１	１
１	０	a(1-r)	０	１	０	０
０	１	(1-a)(1-r)	０	１	１	０
０	０	(1-a)r	０	０	１	１

表１と表２から、三値の真理表が次のようにできます。

表３ｐ∧ｑ

ｐ\| q	1	r
1	1	r
a	a	ar
0	0	0

表４ｐ∨ｑ

ｐ\| q	1	r	0
1	1	１	１
a	1	1+am-m	a
0	1	r	0

表５ｐ⊃ｑ

ｐ\| q	1	r	0
1	1	r	０
a	１	1-a+am	1-a
0	１	１	１

表６ｐ≡ｑ

ｐ\| q	1	r	0
1	1	r	０
a	a	r	1-a
0	0	r	１

　以上の表３?６ように作ることができました。 a,rにそれぞれ任意の値を代入することによって、命題が真である確率が求められます。この値が1となれば、真である確率が1ですから、命題自体が真、真である確率が0であれば、命題自体は偽であると確定できます。
興味深いことに、ここで算出された真理表は、前回提示した、ルカシェビッチ、ポスト、ゲーテル、ハイティングのどれとも異なっています。ちなみに、ｐ∨?ｐを計算してみると、ｐ＝a , γ=-1 (r =０)となりますからｐ∨?ｐ＝ 1+ar-r ＝１+０-０ = 1 となり、ｐ∨?ｐが真となる確率は1。すなわち命題は真であると考えられます。︵排中律が成立する︶
もう事例を考えてみましょう。﹁英語が好きならば、数学が好きである﹂という命題があり、﹁英語が好きか判断不明、数学が好きかも判断不明﹂だとします。英語がどの程度好きかは判断不明でありますが、真と偽の間にあることは間違いありません。数学にしても同様です。﹁英語が好き﹂と﹁数学が好き﹂との関係はわかりません。このような場合は、ｐ⊃ｑ＝ 1-a+ar = 不定値となりますから、命題の真偽不明のままよいでしょう。確率論的に論じれば、数学と英語の相関関係の度合いによって、真偽値はそれに応じて変化していきます。なお、今回考えた表は、三値の表ですが、ｂ= (1-a) を追加し、ｍに0、1を代入すれば、四値以上の真理表を作成することができます。

（以下続く）

投稿者: kameno 日時: 2006年11月30日 07:52

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