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2006年11月30日
言語表現はいかにして多値論理体系で説明できるか9
相関関係を考慮した多値論理真理表の作成を行いましょう。
二つの命題ｐ及びｑに相関関係が無い場合、もしくは、関係があるのかどうか分からない場合、命題の真理値を求めることはさらに困難を極めます。
しかし、実際の人間の思考を考えると、話のつじつまは合わない場合が多いし、前後の相関関係もわからない場合が多はずです。
「Aが真であること、そうでないこと」は、「Ｂが真であること、そうでないこと」とは次元の異なる論理なのです。
「雨が降るか降らないか」といったような同じ次元の論理であれば、簡単に検証することができますが、「雨が降るか雷がなるか」といった場合には、次元が異なると言って良いでしょう。
複雑を避ける意味から、簡単のために三値の真理表についてまず作成してみます。
ｐが１である確率(可能性)をａ、 pとｑとの相関関係をγとすると
（0＜ａ＜１、?１＜γ＜１）
※相関係数は、負の値をとるので、０?１の値に置き換えるため ｒ＝（γ＋１）／２ とします。
表１ 真偽値不明の命題がとりうる真偽値
命題 p 命題q 確 率
|
命題 p |
命題q |
確 率 |
|
1 |
1 |
ar |
|
1 |
0 |
a(1-r) |
|
0 |
1 |
(1-a)(1-r) |
|
0 |
0 |
(1-a)r |
当然全ての確率を合計すると、
ar+a(1-r)+(1-a)(1-r)+(1-a)r=ar+a-ar+1-a-r+ar +r-ar =1
となります。
ｐという命題はaだけ確からしいとし、qはｐとの相関がγである（Ｐとｑと同じになる確率がr）とうことであるから、それぞれの確率と値は次の表のようになります。
表２
命題 ｐ 命題 ｑ 確 率 ｐ∧ｑ ｐ∨ｑ ｐ⊃ｑ ｐ≡ｑ
|
命題 ｐ |
命題 ｑ |
確 率 |
ｐ∧ｑ |
ｐ∨ｑ |
ｐ⊃ｑ |
ｐ≡ｑ |
|
１ |
１ |
ar |
１ |
１ |
１ |
１ |
|
１ |
０ |
a(1-r) |
０ |
１ |
０ |
０ |
|
０ |
１ |
(1-a)(1-r) |
０ |
１ |
１ |
０ |
|
０ |
０ |
(1-a)r |
０ |
０ |
１ |
１ |
表１と表２から、三値の真理表が次のようにできます。
表３ ｐ∧ｑ
|
ｐ| q |
1 |
r |
0 |
|
1 |
1 |
r |
0 |
|
a |
a |
ar |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
表４ ｐ∨ｑ
|
ｐ| q |
1 |
r |
0 |
|
1 |
1 |
１ |
１ |
|
a |
1 |
1+am-m |
a |
|
0 |
1 |
r |
0 |
表５ ｐ⊃ｑ
|
ｐ| q |
1 |
r |
0 |
|
1 |
1 |
r |
０ |
|
a |
１ |
1-a+am |
1-a |
|
0 |
１ |
１ |
１ |
表６ ｐ≡ｑ
|
ｐ| q |
1 |
r |
0 |
|
1 |
1 |
r |
０ |
|
a |
a |
r |
1-a |
|
0 |
0 |
r |
１ |
以上の表３?６ように作ることができました。
a,rにそれぞれ任意の値を代入することによって、命題が真である確率が求められます。
この値が１となれば、真である確率が１ですから、命題自体が真、真である確率が０であれば、命題自体は偽であると確定できます。
興味深いことに、ここで算出された真理表は、前回提示した、ルカシェビッチ、ポスト、ゲーテル、ハイティングのどれとも異なっています。
ちなみに、ｐ∨?ｐ を計算してみると、 ｐ＝a , γ=-1 (r =０)となりますから
ｐ∨?ｐ＝ 1+ar-r ＝ １+０-０ = 1
となり、ｐ∨?ｐ が 真となる確率は１。すなわち命題は真であると考えられます。（排中律が成立する）
もう事例を考えてみましょう。
「英語が好きならば、数学が好きである」という命題があり、「英語が好きか判断不明、数学が好きかも判断不明」だとします。
英語がどの程度好きかは判断不明でありますが、真と偽の間にあることは間違いありません。
数学にしても同様です。「英語が好き」と「数学が好き」との関係はわかりません。
このような場合は、 ｐ⊃ｑ ＝ 1-a+ar = 不定値 となりますから、命題の真偽不明のままよいでしょう。
確率論的に論じれば、数学と英語の相関関係の度合いによって、真偽値はそれに応じて変化していきます。
なお、今回考えた表は、三値の表ですが、ｂ= (1-a) を追加し、ｍに ０、１ を代入すれば、四値以上の真理表を作成することができます。
（以下続く）