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2006年11月22日
言語表現はいかにして多値論理体系で説明できるか8
確率論からのアプローチ
これまで考えてきたことをここで、確率論的に考えてみましょう。
p∧ｑ、p∨q、p⊃q 、ｐ≡qについて、それぞれ考えてみます。
ここで、ｐという命題が真である可能性をa、ｑという命題が真である可能性をa’とします。
また、偽である可能性はそれぞれb、b’とします。
当然 a+b=1、a’+b’＝１ですね。
（ここでは可能性を検討していきますので、様相論理学の可能命題の領域とはなりますが、一応このまま論議を続けていくことにします）
まずは簡単のために、ｐとｑとの相関係数が１または?１の場合を考えてみましょう。
ｐの命題とｑの命題の間に矛盾関係はないですから、ｐが真でｑが偽であるということは考えられません。
１、連言 p∧q
表１： ｐ∧ｑの真偽表 （ｐ、ｑの相関係数ｒ=１ or ｒ=-１の場合）
|
ｐ | q |
1 |
a |
b |
0 |
|
1 |
1 |
a |
b |
0 |
|
a |
a
|
1:a＊1 0:b＊1 |
1:a＊０ 0:ｂ＊０ |
0
|
|
b |
b
|
1:b＊０ 0:a＊０ |
1:b＊1 0:a＊1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
表中の値は命題が１である確率を表します。
たとえば、ｐ=１、ｐ=０は実然命題の場合であり、ｐの真偽値１となる確率は各々１、０となります。
また、ｐ＝a、ｐ＝ｂ は、それぞれｐが１となる確率はa、ｂ （0＜ａ＜１、０＜ｂ＜１）です。
pが実然である場合、命題p∧ｑ の真偽値はqによって定まります。
qが1である確率はaですから、例えば ｐ∧ｑで、 ｐが実然1 、ｑが確率aで真であるとすると、ａの確率で ｐ∧ｑ は１∧１＝１ となり、ｂの確率で
１∧０＝０ となります。
これは a であることと同値なので、ｐ∧ｑ＝ａ という結果になるのです。
同様に考えて、表をうめると上の表１：のようになります。
ここで、ｐとｑが可能命題となる場合については上下２段にそれぞれ命題が１となる確率、命題が０となる確率を記しました。まだ途中段階です。
この作業を進め、ｐ∧ｑ、ｐ∨ｑ、ｐ⊃ｑ、ｐ≡ｑについて表を完成させたものが下の表２?５です。
表２： ｐ∧ｑの真理表
|
ｐ|q |
1 |
a |
b |
0 |
|
1 |
1 |
a |
b |
0 |
|
a |
a |
a |
0 |
0 |
|
b |
b |
0 |
b |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
表３: ｐ∨ｑの真理表
|
ｐ|q |
1 |
a |
b |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
a |
1 |
a |
1 |
a |
|
b |
1 |
1 |
b |
b |
|
0 |
1 |
a |
b |
0 |
表４: ｐ⊃ｑの真理表
|
ｐ|q |
1 |
a |
b |
0 |
|
1 |
1 |
a |
b |
0 |
|
a |
1 |
1 |
b |
b |
|
b |
1 |
a |
1 |
a |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
表５: ｐ≡ｑの真理表
|
ｐ|q |
1 |
a |
b |
0 |
|
1 |
1 |
a |
b |
0 |
|
a |
a |
1 |
0 |
b |
|
b |
b |
0 |
1 |
a |
|
0 |
0 |
b |
a |
1 |
以上のように、確率論からのアプローチから四値の真理表を算出することができることがわかりました。
ただしここで注意するべきは、ｐとｑとで相関係数が１または?１の場合に限られるということです。
つまり、ｐとｑとの相互間系が明白な場合でなければ適用されません。
たとえば、 「明日雨が降るか、雷がなる」という命題や、
「明日雨が降るならば、雷がなる」という命題を考えてみると、これらの命題をそれぞれ ｐ∨ｑ 、 ｐ⊃ｑ とおいて、上記の真理表より
ｐ∨ｑ＝a∨a ＝ａ 、 ｐ⊃ｑ＝ａ⊃ａ＝１ とすることはできそうにありません。
雨が降ることと雷が鳴ることの間の相互関係において、相関はあるとも言えないし、無いともいえないからです。
科学的事実としての確率論として考えることができるだけです。
また、たとえば「わたしは英語が好き」といった場合に、100%はっきり好きであると言うことができれば別ですが、「やや好き」などといった場合にはまさに個人の主観に左右されます。
ここでは、ファジー理論に立ち入る考察はしませんが、ｐとｑとの相互関係が分からない場合について検証を進めていくことにしましょう。
（以下続く）